版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学(Escher, Mandelbrot and Topology)
七月
(一)毛瑞特斯‧柯奈利斯‧艾雪(Maurits Cornelis Escher)
我要表达的事物是如此美丽和单纯。---艾雪
艾雪是荷兰版画家,生于1898年,1972年去世。
他的家乡在荷兰北面的雷欧瓦德市,爸爸是个工程师,家境富裕。7岁开始学画,弹钢琴。再大一些,喜欢文学和诗歌,他读了很多书,尤其热爱俄罗斯作家陀斯妥也夫斯基,果戈尔。20岁时,遇见了教大自然素描和版画艺术的老师梅斯魁塔,在老师的引领下,艾雪找到了他自己最钟情的艺术形式:版画和木刻。
梅斯魁塔是犹太人,二战期间被纳粹抓去,从此未曾回来,艾雪设法把他的作品找地方藏起來,后来在阿姆斯特丹的市立美术馆举办了一次纪念展。1923年,艾雪在意大利结识了燕塔‧尤米克,然后結婚,定居罗马。
1924年二月,艾雪第一次在荷兰海牙的向日葵画廊举行画展。
艾雪的版画,主要分为兩个阶段:1936年之前的作品包括肖像、动植物和风景,线条流动、富有文学性和音乐感。版画《燕塔》是他太太的肖像,温柔地低着头,手里拿着一朵玫瑰花;《婴儿亚瑟》是他的儿子,粉红的底色,白色蕾丝的枕头,被子和圆头圆脸的孩子;沙漠里蓬勃的棕榈树,海面上渐行渐远的汽船和亘古遥远如梦幻般的巴比塔。
1936年是他突然转变画风的一年,由写实变为了抽象。他二哥贝尔是个古生物学和晶体学教授,寄給他一本有关平面分割的书。他边看书边揣摩晶体結构。1937年的木刻《变形》标志着他几乎完全放弃了具象形式的表达,转而朝平面分割的深层探索。
1939年11月至1940年3月,艾雪完成十三英尺尺的木刻《变行II》,这是一组连续的插图:从“变形”的英文字子母开始,经过一系列的联想和渐变,最后结束在意大利阿特拉尼城的一段记忆及一个棋盘,又回到“变形”的英文字母,正好是一圈循环。
艾雪的作品里,鸟儿、鱼和青蛙有特殊的象征性:分别代表了空气,水和土地。另外,白色代表白昼,黑色代表黑夜。他非常喜欢球状的形体,从小就着迷于那种意境,曾写过他淋雨回到家,看见身上鞋上一粒粒雨珠子,就像是一颗颗闪烁发光的水晶球。水晶球在他的画面上不时出现,或者整幅画就是一个球形。如同吉普赛的占卜人,水晶球可以令人随心所欲地看到未来的世界。那里有他至死不渝的美丽梦幻。
1950年之后,他在想象和真实之间徘徊。他相信想象是存在的,以不同的意象來描述梦,思想,或人们观察思考空間的存在形式。並在一数学家的影响下,用由小而大或由大而小的无限扩展的结构表现作品,试图解答无限的数量与空间,三维空间的范围和螺旋,球和水的反射镜像,多面体的倒置转换,平面与立体的冲突,相对性与不可能存在的建筑物等问题。也就是说:他画出了主观空间与客观空间,不可能存在的存在之间的逻辑思维。
比如说:他的《上与下》,图形上方是上面窗台上,有人俯身往下望,看到的是坐在楼梯上的人及地面;图形下端则是坐在楼梯上的人抬头向上瞧,看见的是窗台上的人和天花板。上下部分都没有问题,但是合起来的话,其间的关系却无法解释。《向上与往下》,两队士兵在一座城堡里走楼梯,一对士兵一直是上爬,累得要死;另一对的士兵往下走,轻松自在。按正常道理两对人应该越来越远,但是途中这两对人却走成了循环。《水车》,水渠里的水从近'往源流,通过直泻而下的瀑布落下,又回到了水渠原点。《蛇》是他最后的作品。画中的蛇看起来很逼真,但却完全是画家臆造出来的一种主观存在的意识表现。
艾雪说,巴哈的音乐具有理性,数学的秩序和形式的精密。他作品中的对称性,反复性,连续性和不停地在秩序的扩展和巴哈的赋格和对位有着直接的联系。一是在音乐上,另一在画中,表现了优美安祥和平的节奏和节奏的流动。
(二)本徍德。曼德勃罗(Benoît B. Mandelbrot)
云彩不是球形,山不是锥体,海岸线不是圈子,并且吠声不是光滑的,亦不在一条直线闪电旅行。----曼德勃罗
曼德勃罗1924年生于波兰的华沙,他的祖先是利宛陶的犹太人。德国人入侵了波兰,他们就逃到了法国。曼德勃罗的妈妈是个医生,爸爸是个商人,叔叔是个巴黎有名的数学家,把他领到了数字的王国。
他在法国读了数学博士,又在加州理工学院研究航空学,在法国国家科学研究中心做研究员。出生于匈牙利的美国籍犹太人数学家,现代电子计算计创始人之一的约翰•冯•纽曼资助他一笔钱,他又到了普林斯顿高等研究院做了博士后,那一年,爱因斯坦因主动脈瘤破裂逝世于此。后来,他结了婚,就和太太移民来到美国,加盟IBM,一作就是三十多年,退休后又被聘为耶鲁的数学教授。
曼德勃罗研究的领域非常广泛,数学,信息学,经济学,宇宙学,流体动力学。。。因为他发现在这些学科里,共同的问题是概率论里的fat tails 和self-similar的结构。比如说,在股票市场,他意识到股价的变化并不是人们认可的高斯分布,而是雷维偏阿尔法的稳定分布。
奧伯斯佯谬由德国天文学家奧伯斯于1823年提出,是指若宇宙是稳恒态而且无限的,晚上则因该是光亮而不是黑暗的,而黑暗的夜晚印证了宇宙是非稳恒态的,这正是大爆炸理论的证据之一。目前被接受的解释是宇宙的年龄的有限以及红移作用,诗人爱伦•坡在1848年的我得之矣(一首散文詩)中就写道:
“星星是连续不尽的,然后背景的天空將呈现一致的光亮,就像银河所显示的-–因为不会有绝对的点,在那所有的背景中,星星将不复存在。因此,在那些,在这样的事态下,唯一的模式,我们可以体会到望远镜在无数的方向上发现空隙,將假设无形的背景,因为距离的遙远,光芒从未能到达我们。”
红移是大爆炸本身的辐射因宇宙膨胀的缘故,已经红移到微波的波长,成为宇宙的微波背景辐射。宇宙的膨胀也限制了可观测宇宙的大小,在此之外的光线到不了我们所在之处,这在光学效应下创造了有限的宇宙。
可曼德勃罗提出了另一种不需基于大爆炸理论的解释。他指出若星体是以“分形”方式在宇宙间分布,类似康特尘埃, 不用大爆炸理论也能解释奧伯斯佯谬。
那什么是分形呢?
据曼德勃罗自己说,fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚,他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时,突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus,对应的拉丁文动词是frangere(“破碎”、“产生无规碎片”)。此外与英文的fraction(“碎片”、“分数”)及fragment(“碎片”)具有相同的词根。在此以前,他一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此,取拉丁词之头,撷英文之尾的fractal,本意是不规则的、破碎的、分数的。他是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如,弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉,粗糙不堪的断面,变幻无常的浮云,九曲回肠的河流,纵横交错的血管,令人眼花撩乱的满天繁星等。它们的特点是,极不规则或极不光滑。直观而粗略地说,这些对象都是分形。
分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。海岸线和山川形状,从远距离观察,其形状是极不规则的,可在不同尺度上,图形的规则性又是相同的,海岸线和山川形状,从近距离观察,其局部形状又和整体形态相似,它们从整体到局部,都是自相似的。因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后,很快就引起了许多学科的关注,这是由于它不仅在理论上,而且在实用上都具有重要价值。
在欧氏空间中,人们习惯把空间看成三维的,平面或球面看成二维,而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广,认为点是零维的,还可以引入高维空间,但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数,这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。
曼德勃罗曾经为分形下过两个定义:
(1)满足下式条件:Dim(A)>dim(A) 的集合A,称为分形集。其中,Dim(A)为集合A的Hausdoff维数(或分维数),dim(A)为其拓扑维数。一般说来,Dim(A)不是整数,而是分数。
(2)部分与整体以某种形式相似的形,称为分形。
然而,经过理论和应用的检验,人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上,对于什么是分形,到目前为止还不能给出一个确切的定义,正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样,人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。曼德勃罗集是无限的,反复的次数越多,无穷复杂的图形就会越来越令人惊异地表现出来。
因着分形的概念,随之产生了科学与艺术的完美结合的分形艺术,分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索,使人们觉悟到数学与艺术审美上的统一,将枯燥深奥的数学表达为眩目的图形。
“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人,将来谁不知道分形概念,也不能称为有知识。”著名物理学家惠勒如是说。
(三)殊途同归拓扑学
艾雪和曼德勃罗看似毫无联系,一个是画家,一个是数学家。天真的画家一生都孩子般的排列着神秘的线条,描绘一个不存在的世界,执着的数学家时时在玩弄无尽的数字,由此创造出一个辉煌的宇宙。可就在某一刻,某一点,他们相遇了,在拓扑学的国度。
哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)是东普鲁士的首都,普莱格尔河横贯其中。十八世纪时,这条河上建有七座桥,将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步,一天有人提出:能不能每座桥都只走一遍,最后又回到原来的位置?1736年,有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉,欧拉经过一番思考,很快就用一种独特的方法给出了解答。
1852年,毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象:“看来,每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。” 1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的证明。
这两个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题,但这些问题又与传统的几何学不同,而是一些新的几何概念,这些就是“拓扑学”的先声。
拓扑学的英文名是Topology,直译是地志学,也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学,这是按音译过来的。
拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支。它最初是几何学的一个分支,主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质,现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。
举例来说,在通常的平面几何里,把平面上的一个图形搬到另一个图形上,如果完全重合,那么这两个图形叫做全等形。但是,在拓扑学里所研究的图形,在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可以改变,如同艾雪的画面和曼德勃罗集。在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来,这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下,点、线、块的数目仍和原来的数目一样,这就是拓扑等价。
拓扑学起初叫形势分析学,是莱布尼茨1679年提出的名词。十九世纪中期,黎曼在复函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。二十世纪以来,集合论被引进了拓扑学,为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。拓扑学发展到今天,在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的,叫做点集拓扑学,或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的,叫做代数拓扑。现在,这两个分支又有统一的趋势。
连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存在的。拓扑学对连续性数学是有根本意义的,对于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基本内容已经成为现代数学的常识。拓扑学的概念和方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、广泛的应用。
- posted on 06/15/2008
M.C. Escher's picture gallery
Portrait of Jetta 1925 woodcut
The Fall of Man 1927 woodcut
Metamorphosis II 1940 woodcut in black, green and brown, printed from 20 blocks on 3 combined sheets
Relativity 1953 Lithograph
Sphere Surface with Fish 1958 woodcut in grey, gold and reddish-brown, printed from 3 blocks - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/15/2008
Mandelbrot Set:
- Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/15/2008
七月觉得《金辫子》那本书怎么样? - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/15/2008
哈哈,我就是想从另一面再写写Escher. 其实,都是相关联的。GEB说的太多了,我再胡扯一番,和几何学连,这倒是还没见有人说。
大家砸砖哈!
liaokang wrote:
七月觉得《金辫子》那本书怎么样? - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/16/2008
在计算机领域,最常见的拓扑学应用是在网络的设计上。和七色桥问题大似相同。 - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/16/2008
Mandelbrot Set原来是这样。
- Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/17/2008
拓扑学方法和“不动点定理”,是现代经济学理论研究的重要工具。1983年度诺贝尔经济字奖获得者德布鲁教授论证一般经济均衡的存在性,1994年度诺贝尔经济奖获得者纳什教授论证博弈论纳什均衡的存在性,靠的都是拓扑学方法和不动点定理。所以,要了解现代经济学的前沿发展,需要掌握拓扑学方法和不动点定理。 - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/17/2008
July wrote:
在计算机领域,最常见的拓扑学应用是在网络的设计上。和七色桥问题大似相同。
啥是七色桥问题?只知道有七桥问题和四色问题。 - posted on 06/17/2008
我也感觉似乎是七桥问题?
我过去给报纸写的:
艾舍尔谈艾舍尔
“你看这天花板,你怎么知道它是天花板而不是地板呢?”“当你迈上楼梯的时候,你敢肯定自己比原来高吗?”艾舍尔常常在演讲中这样说——好像出自安徒生之口,令我会心一乐。于是决定把这本《艾舍尔谈艾舍尔》(Escher on Escher-Exploring the Infinite;by M.C.Escher)借回家。
艾舍尔是谁?就是侯世达著名的GEB——《哥德尔,艾舍尔,巴赫——集异璧之大成》中的E,出生于1898年的荷兰画家。这本书中的G和B都是我隔了许多代的“老朋友”,但对E有点摸不着头脑,不知怎么拉进一个画家来,而且是画那么奇怪的画。眼前这本《艾舍尔谈艾舍尔》提供了一个有道理的答案——艾舍尔自己反复提及巴赫和数学对他的影响——可是,艾舍尔并没有学过音乐,而且数学糟糕得没法及格。原来音乐和数学,可以对人有非音乐和非数学的影响,也就是说,在“声音”和“计算”之外,它们的“形式”,或者说“结构”本身,就是一个国土,有自己的母语。这正是我从GEB中读到的。
我们先来看看艾舍尔是怎样一个人。这本书除了艾舍尔的演讲、信件、访谈,还有一篇简单但充满情感的传记,名叫《我在这里独自徘徊》,由跟他长期合作的经纪人维米伦所写。艾舍尔小时候成绩很烂,比哥哥们笨多了,而且身体不好,神经过敏,害羞,自卑。家里呢,妈妈苛刻,爸爸说一不二。他就在这样的环境中长大,因为崇拜父亲而打算混出个样儿来,以弥补糟糕的少年生活。爸爸严格的脾气养成他对秩序的热爱。他说:“我们这个世界混乱得让人绝望。所以我决定生活在跟世界毫无关系的抽象图案中。”“chaos(混乱)的目的是为了获得秩序。”“混乱是开始,简洁是终极”。
他的生活纳入轨道是从进入建筑学校开始的,后来学装饰和图案画,其间狼狈得要依赖父母供养,谈恋爱时担心自己不能养家——果然,结了婚又要依靠妻子的父母。他的画呢,几十年以来都只有身边的小圈子知道。这样的故事几乎发生在所有天才身上,所以不细说也罢。总之,天才被发现的过程,好像慢慢煎一锅药。
然而,从1951年也就是五十多岁的时候起,他突然成名了。他办画展,并被“粉丝”包围。索画的人太多,他把价钱加倍,想吓走买主,结果还是供不应求,然后再加倍,奇怪,公众的兴趣有增无减。于是他不但画画,还接受采访、讲演,忙得不亦乐乎。这样说来,该品尝成功的愉快了吧?然而我们如今只听到他留下的悲叹:“我太孤独了。我在这里独自徘徊。公众一点也不理解我,他们根本看不到我真正的优点。我有家庭和孩子,然而我不能和任何人交流。”
他沉迷于这样的世界:秩序、规则、样式、重复、循环、凸凹、更新,在这样的运动中,秩序渐渐显露,中心渐渐形成,画面就这样获得平衡和稳定。“这些运动给我支撑和安宁。”他说。关于图案画的魅力,他总结了这样三点:一、渴望复制。二、漂亮的手艺。三、技术的局限。
真是个奇怪的艺术家!我们听到的艺术家的声音,往往都是打破枷锁,追求自由之类,而他竟然自觉地画地为牢,以重复为美。其实,如果重复或者枷锁本身就指向秩序,那重复也许就不仅仅是重复,而是一种形式和语言了——更何况,这种重复背后有着精心的计算,好比巴赫的音乐。有关秩序、计算和重复的理念本身,难道不是艺术的一种可能?他的画其实都在描绘“不可能”:一些扭曲交错故而在真实世界中不存在的结构——比如上升的同时又在下降的螺旋楼梯。而这就是他的全部乐土——世界不只是看上去的那个样子。美国诗人斯蒂文斯也说过类似的话。
我们在网上搜索M.C.Escher就能找到很多他的画,比如人和马的互相拼接,上升然而并不“升高”的楼梯,两只交错并互相描画的手。尤其有趣的是,黑鸟从地上起飞,周围的平面在升高的过程中,渐渐变成跟黑鸟镶嵌的白鸟。他喜欢把平面切割、颠倒,然后进入他最欢喜的情景,这就是无限重复,像音乐中的赋格、卡农那样,渐行渐远着酝酿轮回。而他自己,就像一只在空间碎片中穿行的自由之鸟。而这正是让他深感孤单和懊恼的地方——观众们似乎不介意画的“由来”也就是空间错位的想象,他们只好奇于画面的怪诞。所以,画越受公众欢迎,艾舍尔越怀疑自己:数十年的苦思难道又是一场失败?在我这个读者看来,也许艾舍尔是因为天性太过敏感,对公众和他之间的对立夸大了些。“孤独”无非是一种“感”,说到底是感受者的产品。这个世界上有谁能完全被理解?有谁不孤独?他近于偏执的对几何秩序的追求和过度的自我沉醉、自我囚禁,也许是孤独感膨胀的原因。然而又有谁能劝阻他呢?他的苦恼难道不是他的灵感之泉吗?
艾舍尔的自我怀疑包括这样的拷问:我是个艺术家或者画家吗?他谦卑地称自己的作品是图案画,并且慎重地表示,自己不是艺术家,并没有多少灵感,只是一个有心有灵魂的手艺人。在给儿子们的信中,他这样写道:“又来了一群椋鸟……它们来了又走,循环往复。我对它们能说什么呢?它们在花园里唱歌,每只发出一样的声音。与此同时,教皇死了,躺在玻璃棺材里,好像白雪公主……所以在这个世界上我们都在做自己的游戏,不知来由。椋鸟不知道,喜剧演员不知道,你不知道,我和我的螺旋楼梯也不知道。这一切都令人难过,然而在一些瞬间这些景象都令人着迷。”这些伤感而迂回的话语,本身就像螺旋楼梯。
维米伦说,艾舍尔的画因为黑白互衬,所以既彼此加强又彼此否定,好比艺术和科学的关系——这个充满诗意的说法我不敢肯定,但我同意这样的意思:“这个世界上充满这样的关系——这就是我们的家。”
- Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/17/2008
写错了,是七桥问题。 那四色问题还是从你那里听来的哈。
gz wrote:
July wrote:啥是七色桥问题?只知道有七桥问题和四色问题。
在计算机领域,最常见的拓扑学应用是在网络的设计上。和七色桥问题大似相同。 - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/17/2008
艾舍尔的根本转变是在他观察了晶体结构,他的世界不是二维,也不是三维,而是2-3之间的地方,也就是曼德勃罗集里的分数。。。这是我写这篇的动机。
曼德勃罗集里的参数是随意无穷变化的,任何变化,图形就会变,就像那些照片一样,全是用计算机generate 出来的。
mahuiyuan wrote:
我也感觉似乎是七桥问题?
我过去给报纸写的:
艾舍尔谈艾舍尔
- Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/17/2008
害得我在网上找出一大堆七色桥... :-) - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/17/2008
个人从来对艺术和科学的相通不敢随意下结论,不过呢,有时是有这样的情况,就是艺术家反复观察和思考一种模式,感官到了非常尖锐,或者说自我囚禁到了极致的时候,可能跟用复杂科学理论而抵达的模式有些重合。
有本书大意就是20世纪的艺术和科学,说当代物理和抽象画的联系,我觉得还是很 make sense的,尽管可能不是谁启发了谁,而仅仅是一种有些必然性的巧合。 - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/17/2008
哈哈,太喜欢这两个人了,所以写了这篇,非要把他们推销给你们 :-) - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/17/2008
mahuiyuan wrote:....
我也感觉似乎是七桥问题?
我过去给报纸写的:
艾舍尔谈艾舍尔
GEB里很巧妙地把艾舍尔的画和数理逻辑里的悖论联系在一起,因为它们都涉及到 self-reference 所引起的自相矛盾,所谓“怪圈”。最妙的就是那幅左手画右手,右手画左手的画,是一张卡片两面互相矛盾的话的最好注解。他其实还应该画一只画自己的手,就是 "this sentence is false" 的注解了。
自从这本书流行以来,很多人爱赶时髦,张口闭口“怪圈”,反倒败了胃口。 - posted on 06/17/2008
我觉得归根到底是pattern, 世界的奥秘就在pattern里。化石,地质。。。科学家和艺术家都是探索世界的奥秘。有神论说上帝用pattern揭示了他的智慧,达尔文论者说pattern是进化的根据。
曼德勃罗集是对pattern的数学解释。
mahuiyuan wrote:
个人从来对艺术和科学的相通不敢随意下结论,不过呢,有时是有这样的情况,就是艺术家反复观察和思考一种模式,感官到了非常尖锐,或者说自我囚禁到了极致的时候,可能跟用复杂科学理论而抵达的模式有些重合。
有本书大意就是20世纪的艺术和科学,说当代物理和抽象画的联系,我觉得还是很 make sense的,尽管可能不是谁启发了谁,而仅仅是一种有些必然性的巧合。 - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/17/2008
July wrote:
我觉得归根到底是pattern, 世界的奥秘就在pattern里。化石,地址。。。科学家和艺术家都是探索世界的奥秘。有神论说上帝用pattern揭示了他的智慧,达尔文论者说pattern是进化的根据。
that is why it is great fun to do "pattern recognition" :-) - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/17/2008
可你是色盲 :-)很多pettern看不出来。
gz wrote:
July wrote:that is why it is great fun to do "pattern recognition" :-)
我觉得归根到底是pattern, 世界的奥秘就在pattern里。化石,地址。。。科学家和艺术家都是探索世界的奥秘。有神论说上帝用pattern揭示了他的智慧,达尔文论者说pattern是进化的根据。 - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学posted on 06/17/2008
July wrote:
可你是色盲 :-)很多pettern看不出来。
七月,你严重伤害了我的感情!:-(
- Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学 (Escher, Mandelbrot and Topology)posted on 06/17/2008
这篇太厉害了,先在这阶梯教室里占个位子,回头慢慢看。 - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学 (Escher, Mandelbrot and Topology)posted on 04/18/2009
我今天要接着写哥白尼,突然想起了爱伦。坡的一首诗,这里有引用,爱伦坡是个鬼才,他用一首诗把哥白尼,第谷,开普勒的发现都概括了。
欲知这爱伦坡到底何处来的灵感,请听下回分解。 - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学 (Escher, Mandelbrot and Topology)posted on 04/23/2009
这里的各位还是谈谈艺术吧,
不要谈科学了,
谈科学都是不懂装懂歪曲科学,
比不谈还糟糕。 - Re: 版画大师艾雪,数学家曼德勃罗和拓扑学 (Escher, Mandelbrot and Topology)posted on 04/24/2009
你要是懂科学你来谈,很欢迎。
看好戏 wrote:
这里的各位还是谈谈艺术吧,
不要谈科学了,
谈科学都是不懂装懂歪曲科学,
比不谈还糟糕。
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